date: 2025-06-12T16:19:00 aliases:

• 离散数学第四章

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谓词逻辑基本概念

谓词逻辑命题符号化

谓词逻辑命题符号化的3个基本要素：个体词、谓词和量词

1) 个体词

• 个体词：研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体
  • 例子：小智、中国、3
• 个体常项：表示具体或特定的客体的个体词
  • 例子：4是有理数
• 个体变项：表示抽象或泛指的个体词
  • 例子：x是有理数
  • “是有理数”是谓词，记为 ( F ) ( F(4) )
• 个体域（论域）：个体变项的取值范围
  • 例子：x是有理数
  • “是有理数”是谓词，记为 ( F ) ( F(x) )
• 全总个体域：由宇宙间一切事物组成的个体域

2) 谓词

• 谓词：刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词
  • 例子：小霞和小智是同学
  • “X和X是同学”是谓词，记为 ( H )
  • ( a ) 表示小霞 ( b ) 表示小智 ( H(a, b) )

3) 量词

量词是表示个体之间数量关系的词。

• 全称量词

  • 符号：$∀$
  • 表示：$∀x$ 表示个体域中所有的 $x$
  • 同义词：一切的、所有的、每一个、任意的、凡、都等

• 存在量词

  • 符号：$∃$
  • 表示：$∃x$ 表示个体域中有一个个体 $x$
  • 同义词：存在、有一个、有的、至少有一个等

例题：

命题：“所有的人都长着长头发”，令$M(x)$：x是人，$G(x)$：x长着长头发 则该命题符号化为（ ） ==$A.\forall x (M(x) \rightarrow G(x))$== $B. \exists x (M(x) \land G(x))$ $C. \exists x (M(x) \lor G(x))$ $D. \forall x (M(x) \land G(x))$

谓词逻辑公式及解释

在公式 $\forall x (A)$ 和 $\exists x (A)$ 中，称 $x$为指导变元，$A$ 为量词的辖域。在$\forall x$ 和 $\exists x$ 的辖域中，$x$ 的所有出现都称作约束出现， $A$ 中不是约束出现的其他变项均称作自由出现。

注意如果出现多个量词命题，它们的顺序一般不可变，如：$\forall x \exists y (A(x) \lor B(y))$

题1. 指出下列各公式中的指导变元，各量词的辖域，自由出现以及约束出现的个体变项。

$\forall x (F(x, y) \rightarrow G(x, z))$

解答

• x 是指导变元
• $\forall$ 的辖域 $A = F(x, y) \rightarrow G(x, z)$
• 在 $A$ 中，$x$ 是约束出现，约束出现两次
• $y$ 和 $z$ 均为自由出现，各自自由出现一次