date: 2025-06-14T16:03:00 aliases:

• 离散数学第八章

函数

函数的定义与性质

基本定义

• 函数：设 $A$ 和 $B$ 是非空集合，$f \subseteq A \times B$ 满足：
  • $\forall a \in A, \exists! b \in B$ 使得 $(a,b) \in f$
• 记法：
  • $f: A \to B$
  • $f(a) = b$（$(a,b) \in f$）
• 术语：
  • 定义域：$dom(f) = A$
  • 值域：$ran(f) = \{f(a) | a \in A\}$
  • 像：$f(X) = \{f(x) | x \in X\}$（$X \subseteq A$）
  • 原像：$f^{-1}(Y) = \{x | f(x) \in Y\}$（$Y \subseteq B$）

示例

设 $A = \{1,2,3\}, B = \{a,b,c\}$
$f = \{(1,a), (2,b), (3,b)\}$ 是函数
$g = \{(1,a), (1,b), (2,c)\}$ 不是函数（1对应多个值）

函数性质

1. 单射（Injective）：

   • $\forall a_1,a_2 \in A, f(a_1)=f(a_2) \Rightarrow a_1=a_2$
   • 示例：$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, f(x)=2x$ 是单射

2. 满射（Surjective）：

   • $\forall b \in B, \exists a \in A$ 使 $f(a)=b$
   • 示例：$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, f(x)=x^2$ 是满射

3. 双射（Bijective）：

   • 既是单射又是满射
   • 示例：$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x^3$ 是双射

函数的复合与反函数

函数复合

• 定义：对于 $f: A \to B$ 和 $g: B \to C$，复合函数： $g \circ f: A \to C$ $(g \circ f)(a) = g(f(a))$
• 性质：
  • 结合律：$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$
  • 不满足交换律

示例

设 $f(x)=x+1$, $g(x)=x^2$
则 $g \circ f(x) = g(f(x)) = (x+1)^2$
而 $f \circ g(x) = f(g(x)) = x^2 + 1$

反函数

• 定义：对于双射 $f: A \to B$，其反函数 $f^{-1}: B \to A$ 满足： $f^{-1}(b) = a \iff f(a) = b$
• 性质：
  • $f^{-1} \circ f = I_A$（恒等函数）
  • $f \circ f^{-1} = I_B$
  • $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$

示例

双射函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1$
其反函数： $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2}$

重要定理

1. 反函数存在定理：函数有反函数当且仅当它是双射
2. 基数关系：若存在 $A$ 到 $B$ 的双射，则 $|A|=|B|$

graph LR
    A -- f --> B -- g --> C
    A -- g∘f --> C
    B -- f⁻¹ --> A
    C -- g⁻¹ --> B
    C -- (g∘f)⁻¹ --> A