date: 2025-06-14T16:18:00 aliases:

• 离散数学第九章

代数结构

二元运算及其性质

基本定义

• 二元运算：设 $S$ 为非空集合，映射 $f: S \times S \to S$ 称为 $S$ 上的二元运算
• 记法：通常用 $*$、$+$、$\cdot$ 等符号表示，如 $a * b = c$

示例

1. $\mathbb{Z}$ 上的加法是二元运算
2. $M_{n}(\mathbb{R})$（n阶实矩阵）的乘法是二元运算
3. 幂集 $P(S)$ 的并集运算 $\cup$ 是二元运算

运算性质

1. 封闭性：$\forall a,b \in S, a*b \in S$（由定义保证）

2. 交换律： $\forall a,b \in S, a*b = b*a$ 反例：矩阵乘法不满足

3. 结合律： $\forall a,b,c \in S, (a*b)*c = a*(b*c)$ 重要性：允许省略括号写为 $a*b*c$

4. 幂等律： $\forall a \in S, a*a = a$ 示例：集合的 $\cap$ 和 $\cup$ 运算

5. 单位元（幺元）： $\exists e \in S \text{ 使得 } \forall a \in S, a*e = e*a = a$ 示例：加法中的0，乘法中的1

6. 逆元： $\forall a \in S, \exists a^{-1} \in S \text{ 使 } a*a^{-1} = a^{-1}*a = e$ 注意：逆元的存在依赖于单位元的存在

运算表表示

对于有限集合 $S = \{a,b,c\}$ 的运算 $*$：

群的定义

基本定义

非空集合 $G$ 和二元运算 $*$ 构成群 $(G,*)$ 当且仅当满足：

1. 封闭性：$\forall a,b \in G, a*b \in G$
2. 结合律：$(a*b)*c = a*(b*c)$
3. 单位元：$\exists e \in G$ 使得 $\forall a \in G, a*e = e*a = a$
4. 逆元：$\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G$ 使 $a*a^{-1} = a^{-1}*a = e$

示例

1. $(\mathbb{Z}, +)$ 是群（单位元0，逆元相反数）
2. $(\mathbb{R}^*, \times)$ 非零实数乘法群（单位元1，逆元倒数）
3. 非群例子：$(\mathbb{Z}, \times)$（缺少多数元素的乘法逆元）

群的性质

1. 阶的定义：有限群的元素个数 $|G|$ 称为群的阶

   • 示例：$(\{1,-1,i,-i\}, \times)$ 是4阶群

2. 阿贝尔群：满足交换律的群 $\forall a,b \in G, a*b = b*a$ 示例：$(\mathbb{R}, +)$ 是阿贝尔群

3. 消去律： $a*b = a*c \Rightarrow b = c$ $b*a = c*a \Rightarrow b = c$

子群

• 定义：$H \subseteq G$ 且 $(H,*)$ 本身构成群
• 判定定理：
  1. $H \neq \varnothing$
  2. $\forall a,b \in H, a*b^{-1} \in H$

graph TD
    A[代数结构] --> B[群]
    B --> C[阿贝尔群]
    B --> D[有限群]
    B --> E[子群]
    A --> F[半群]
    A --> G[幺半群]